Pengertian Representasi Matematika

Representasi adalah ungkapan-ungkapan dari ide-ide matematika (masalah, pernyataan, definisi, dan lain-lain) yang digunakan untuk memperlihatkan (mengomunikasikan) hasil kerjanya dengan cara tertentu (cara konvensional atau tidak konvensional) sebagai hasil interpretasi dari pikirannya (Kartini 2009).

Adapun standar representasi yang ditetapkan National Council of Teacher of Mathematics (NCTM) untuk program pembelajaran dari pra-taman kanak-kanak sampai kelas 12 adalah bahwa harus memungkinkan siswa untuk:

1. membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur, mencatat, dan mengkomunikasikan ide-ide matematika,

2. memilih, menerapkan, dan menterjemahkan antar representasi matematika untuk memecahkan masalah,

3. menggunakan representasi untuk memodelkan dan menginterpretasikan fenomena fisik, sosial, dan matematika.

Hudojo (dalam Soedjoko, 2009 : 8) mengungkapkan representasi sebagai gambaran mental yang merupakan proses belajar yang dapat dimengerti dari perkembangan mental yang sudah dimiliki seseorang yang tercermin sebagaimana yang terungkap seperti yang divisualisasikan dalam wujud verbal, gambar, dan benda konkrit. Wahyudin (2008) juga menambahkan bahwa representasi bisa membantu para siswa untuk mengatur pemikirannya. Selain itu, dalam Smith (2003) NCTM menyebutkan “The representation students develop help teachers understand “student” ways of interpreting and thinking about mathematics.” Artinya, representasi yang dikembangkan oleh siswa membantu guru dalam memahami cara siswa menafsirkan dan pemikirannya tentang matematika. Wiryanto (2012b : 164) mengungkapkan bahwa representasi terjadi melalui dua tahapan, yaitu representasi internal dan representasi eksternal. Ide matematika yang memungkinkan seseorang bekerja berdasarkan ide tersebut merupakan representasi internal.

Gagasan yang dituangkan melalui gambar, peragaan benda konkrit, dan kalimat tertulis (verbal) merupakan wujud representasi eksternal. Representasi internal dari seseorang sulit untuk diamati secara langsung karena merupakan aktivitas mental pikirannya (minds-on). Namun, representasi internal seseorang itu dapat disimpulkan atau diduga berdasarkan representasi eksternalnya dalam berbagai kondisi, misalnya dari pengungkapannya melalui kata-kata (lisan), melalui tulisan berupa simbol, gambar, grafik, tabel ataupun melalui alat peraga (hand-on). Dalam standar representasi NCTM yang dijabarkan di atas, secara eksplisit, standar representasi yang dibahas fokus pada penggunaan representasi eksternal dan hanya secara implisit fokus pada representasi internal.

Hal ini disebabkan tidak ada seseorang yang secara langsung dapat mengamati representasi internal orang lain, representasi internal hanya dapat diduga dengan membuat pendekatan berdasarkan representasi eksternal atau interaksi keduanya. Chandra (2009 : 1) mengungkapkan bahwa ada empat ide mengenai konsep representasi, yaitu:

1. Dalam domain matematika, representasi matematika dapat diartikan sebagai “internal-abstraction of mathematical ideas or cognitive schemata that are developed by the learner through experience”. Hal ini berarti representasi merupakan proses mencari kesamaan-kesamaan dengan mereduksi perbedaan-perbedaan (abstraksi) terhadap ide-ide matematika atau skemata kognitif yang terjadi dalam pikiran (internal) pembelajar yang dikembangkannya melalui pengalaman.

2. Representasi didefinisikan sebagai “mental reproduction of a former mental state”. Ini berarti representasi merupakan pembuatan kembali (reproduksi) gambar-gambar secara internal berdasarkan pada pemaknaan mental sebelumnya.

3. Representasi diartikan sebagai “a structurally equivalent presentation through pictures, symbols and signs”. Jadi, representasi berarti penghadiran konsep-konsep melalui gambar-gambar, simbol-simbol, dan tanda-tanda abstrak yang ekuivalen secara struktural.

4. Representasi dikenal juga sebagai “something in place of something”, yang berarti sesuatu sebagai wakil dari sesuatu. Dari beberapa pendapat di atas, disimpulkan bahwa reperesentasi adalah ungkapan gagasan seseorang sebagai akibat aktivitas pikirannya yang dapat disalurkan melalui alat peraga, gambar, bahasa tulisan, atau simbol-simbol baku.

Peranan dan Fungsi Representasi dalam Pembelajaran Matematika

Peranan dan Fungsi Representasi dalam Pembelajaran Matematika (Luitel, 2009 : 7) mengungkapkan tujuh peranan representasi sebagai berikut.

1. Representasi sebagai alat komunikasi. Untuk dapat mengkomunikasikan gagasan atau ide matematika, siswa perlu merepresentasikannya dalam beberapa bentuk seperti tabel (tables), gambar (drawing), grafik (graph), ekspresi atau notasi matematis (mathematical expressions), serta menulis dengan bahasa sendiri, baik formal maupun informal (written text).

2. Representasi Matematika sebagai Indikator Sikap siswa terhadap Matematika. Representasi internal suatu konsep merupakan wakil konsep tersebut dalam pikiran siswa. Wakil ini dibutuhkan terutama ketika siswa ingin membicarakan atau mempelajari suatu konsep matematika. Siswa akan mengalami kesulitan dalam belajar, jika tidak memiliki wakil konsep. Sebagai contoh, siswa akan kesulitan untuk mencari suku ke-n dari barisan bilangan 1, 5, 9, … , jika tak dapat mengidentifikasi pola bilangan yang terbentuk. Dengan demikian, ada tidaknya wakil suatu konsep dalam pikiran siswa menjadi salah satu indikator apakah siswa paham konsep tersebut atau tidak? Apakah siswa dapat menyelesaikan masalahmasalah yang berkaitan dengan konsep tersebut atau tidak? Siswa yang merasa “tidak paham” atau “tidak bisa” lambat laun akan mempunyai sikap tidak menyukai matematika. Sebaliknya, siswa yang bisa akan termotivasi untuk terus belajar matematika. Ada tidaknya representasi internal (wakil konsep) menjadi indikator sikap siswa terhadap matematika.

3. Representasi Sebagai Bukti Pemahaman Matematika Siswa. Representasi eksternal mengambarkan apa yang ada dalam pikiran seseorang (representasi internal). Misalkan seorang siswa merepresentasikan barisan aritmetika dengan wakil yang tidak sesuai. Ini berarti siswa belum paham mengenai definisi barisan aritmetika. Sebaliknya, siswa yang mampu merepresentasikan dengan baik menunjukkan pemahaman terhadap suatu konsep tersebut. Dengan demikian, representasi menjadi bukti dari pemahaman matematika siswa.

4. Representasi sebagai Penghubung antar Konsep-konsep. Representasi bukanlah entitas sesuatu, tetapi merupakan ide-ide beragam dari pernyataan-pernyataan hubungan-hubungan, konsepkonsep dan prinsip-prinsip. Lebih lanjut, representasi membantu memvisualisasi hubungan-hubungan antara konsep-konsep. Representasi dari barisan aritmetika membutuhkan hubungan antara suku satu dengan suku selanjutnya. Untuk menentukan suku selanjutnya membutuhkan pemahaman yang jelas tentang beda antar suku dan suku awal. Jadi, terjadi hubungan-hubungan antara konsepkonsep ketika siswa mau merepresentasikan sebuah barisan aritmetika.

5. Reperesentasi Merupakan Proses Pengembangan yang Berada Dalam Kontinum Prosedural – Konseptual. Menurut Karmiloff–Smith, informasi implisit yang tersimpan dalam otak berbentuk representasi internal. Informasi tersebut disimpan melalui suatu proses berulang (iteratif) yang disebut proses redeskripsi. Berikut tabel yang menggambarkan proses Representasi Redeskripsi (RR).

FaseMenyatakan Berhubungan dengan Tujuan
Prosedural
Kinerja

Algoritma mnemonic, fakta-fakta, dan rumus
Orientasi sukses
Meta
Prosedural
Pengetahuan InternalJaringan fakta-fakta, rumus, dan pengalaman
sebelumnya
Orientasi perilaku organisasi
Konseptual
Pengaturan pengetahuan dengan jaringan mental internal
Pengetahuan relasional dan konseptualMembuat kontrol pada kontinum eksternal internal

Menurut model RR, pada fase prosedural, siswa lebih berorientasi pada hasil dan menunjukkan kinerja algoritma mereka. Pada fase meta prosedural, sifat representasi berbeda dengan fase sebelumnya. Siswa menunjukkan konstruksi meta prosedural, sebagai contoh interpretasi dari algoritma dan rasionalisasi dari prosedur tersebut. Pada tingkat 3, mereka menunjukkan kontrol atas kontinum eksternal-internal dimana representasi diatur dalam jaringan mental siswa. Sebagai contoh, siswa dapat menyatakan situasi masalah dalam bentuk-bentuk apa yang ditanyakan, proses apa yang digunakan, dan apa kemungkinan solusi yang melibatkan konsep-konsep dalam masalah.

6. Sistem Representasi dapat Mengatasi Penghalang-penghalang Kognitif. “Penghalang kognitif” adalah suatu potongan pengetahuan dari siswa yang telah memuaskan pada waktu menyelesaikan masalahmasalah tertentu, dan telah tersimpan dalam pikirannya tetapi menjadi tidak kemudian ketika menghadapi masalah-masalah baru, pengetahuan siswa tersebut tidak cukup dan kesulitan untuk beradaptasi. Penghalang-penghalang tersebut dapat diatasi melalui meningkatkan kekuatan system representasional. Pada umumnya, penghalang dapat diatasi karena sistem-sistem representasional dihubungkan satu sama lain. Sebagai contoh, representasi aturan perkalian akan mudah dipahami jika dihubungkan dengan konsep penjumlahan. Demikian juga, jika representasi dikembangkan melalui perspektif yang lebih luas maka akan membantu dalam pembelajaran selanjutnya.

7. Representasi bukanlah metode tetapi bagian dari proses mengkonstruksi ide-ide matematika. Representasi bukanlah metode atau teori pembelajaran. Dengan representasi, siswa mengkonsolidasi ide-ide mereka dalam suatu cara yang simetrik.

Pada umumnya, representasi membantu dalam penyederhanaan struktur paradigmatik dari belajar pengetahuan matematika. Kalathil & Sherin (Kartini ,2009 : 367) melaporkan bahwa ada tiga fungsi representasi eksternal yang dihasilkan siswa dalam belajar matematika. Representasi digunakan untuk memberikan informasi kepada guru mengenai bagaimana siswa berpikir mengenai suatu konteks atau ide matematika. Representasi digunakan untuk memberikan informasi tentang pola dan kecenderungan (trend) diantara siswa. Representasi digunakan oleh guru dan siswa sebagai alat bantu dalam proses pembelajaran.

Representasi menurut Pendapat Bruner

Bruner (dalam Wiryanto : 2012a) membedakan tiga jenis model mental representasi, yaitu:

1. Representasi Enaktif (enactive) adalah representasi sensorimotor yang dibentuk melalui aksi atau gerakan. Pada tahap ini penyajian yang dilakukan melalui tindakan anak yang terlibat dalam memanipulasi objek. Pada tahap ini anak belajar sesuatu pengetahuan dengan menggunakan benda-benda konkret.

2. Representasi Ikonik (iconic) berkaitan dengan image atau persepsi, yaitu suatu tahap pembelajaran suatu pengetahuan di mana pengetahuan itu direpresentasikan/diwujudkan dalam bentuk bayangan visual (visual imagery), gambar, atau diagram.

3. Representasi Simbolik (symbolic) berkaitan dengan bahasa matematika dan simbol-simbol. Anak sudah mampu menggunakan notasi tanpa ketergantungan terhadap objek real. Pada tahap simbolik ini, pembelajaran direpresentasikan dalam bentuk simbol-simbol abstrak (abstract symbols) baik simbol-simbol verbal (misalnya hurufhuruf, kata-kata, kalimat-kalimat), lambang-lambang matematika maupun lambang-lambang abstrak yang lain.

Dalam pandangan Bruner, representasi (enaktif, ikonik, dan simbolik) berhubungan dengan perkembangan mental seseorang dan setiap perkembangan representasi yang lebih tinggi dipengaruhi oleh representasi lainnya. Sebagai contoh, pemahaman pola bilangan untuk siswa SMP dapat diperoleh melalui beberapa pengalaman terkait, misalnya diawali dengan memanipulasi benda konkret seperti pion-pion yang mewakili bentuk representasi enaktif. Kemudian aktivitas tersebut diingatnya dan dipahami sehingga menghasilkan keinginan untuk memperkaya idenya melalui macam-macam gambar yang mewakili pola bilangan yang dalam pikiran anak yang dikenal sebagai representasi iconic. Dengan mengembangkan berbagai persepsinya, simbol yang dikenalnya dimanipulasi untuk menyelesaikan suatu masalah sebagai perwujudan representasi symbolic.

Selain itu, Bruner dan Kenney (1993) juga mengemukakan empat dalil yang berkaitan dengan pengajaran matematika, yakni :

a. Dalil Konstruksi / Penyusunan (Contruction Theorema) Di dalam teorema konstruksi dikatakan bahwa cara yang terbaik bagi seseorang siswa untuk mempelajari sesuatu atau prinsip dalam matematika adalah dengan mengkontruksi atau melakukan penyusunan sebagai sebuah representasi dari konsep atau prinsip tersebut.

b. Dalil Notasi (Notation Theorema) Dalam teorema notasi, representasi dari suatu materi matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila dalam representasi itu digunakan notasi yang sesuai dengan tingkat perkembangan kognitif siswa.

c. Dalil Kekontrasan dan Variasi (Contrast and Variation Theorema) Di dalam teori kekontrasan dan variasi dikemukakan bahwa suatu konsep matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila konsep tersebut dikontraskan dengan konsep-konsep yang lain, sehingga perbedaan antara konsep itu dengan konsep-konsep yang lain menjadi jelas.

d. Dalil Konektivitas atau Pengaitan (Connectivity Theorema) Di dalam teorema konektivitas disebutkan bahwa setiap konsep, setiap prinsip, dan setiap ketrampilan dalam matematika berhubungan dengan konsep-konsep, prinsip-prinsip, dan ketrampilan-ketrampilan yang lain.